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そもそも「児童買春罪」か？という素人判断が当てにならないのでご注意ください。もっと重い罪かもしれないですよ。
まず、公訴時効は刑訴法。
http://law.e-gov.go.jp/htmldata/S23/S23HO131.html#1000000000000000000000000000000000000000000000025000000000000000000000000000000
第二百五十条 時効は、次に掲げる期間を経過することによつて完成する。
一 死刑に当たる罪については二十五年
二 無期の懲役又は禁錮に当たる罪については十五年
三 長期十五年以上の懲役又は禁錮に当たる罪については十年
四 長期十五年未満の懲役又は禁錮に当たる罪については七年
五 長期十年未満の懲役又は禁錮に当たる罪については五年
六 長期五年未満の懲役若しくは禁錮又は罰金に当たる罪については三年
七 拘留又は科料に当たる罪については一年
次に、法定刑をみるわけですよ。
第４条（児童買春）
児童買春をした者は、五年以下の懲役又は三百万円以下の罰金に処する。
第５条（児童買春周旋）
児童買春の周旋をした者は、五年以下の懲役若しくはは五百万円以下の罰金に処し、又はこれを併科する。
2 児童買春の周旋をすることを業とした者は、七年以下の懲役及び千万円以下の罰金に処する。
第６条（児童買春勧誘）
児童買春の周旋をする目的で、人に児童買春をするように勧誘した者は、五年以下の懲役若しくは五百万円以下の罰金に処し、又はこれを併科する。
2 前項の目的で、人に児童買春をするように勧誘することを業とした者は、七年以下の懲役及び千万円以下の罰金に処する。
第７条（児童ポルノ提供等）
児童ポルノを提供した者は、三年以下の懲役又は三百万円以下の罰金に処する。電気通信回線を通じて第二条第三項各号のいずれかに掲げる児童の姿態を視覚により認識することができる方法により描写した情報を記録した電磁的記録その他の記録を提供した者も、同様とする。
2 前項に掲げる行為の目的で、児童ポルノを製造し、所持し、運搬し、本邦に輸入し、又は本邦から輸出した者も、同項と同様とする。同項に掲げる行為の目的で、同項の電磁的記録を保管した者も、同様とする。
3 前項に規定するもののほか、児童に第二条第三項各号のいずれかに掲げる姿態をとらせ、これを写真、電磁的記録に係る記録媒体その他の物に描写することにより、当該児童に係る児童ポルノを製造した者も、第一項と同様とする。
4 児童ポルノを不特定若しくは多数の者に提供し、又は公然と陳列した者は、五年以下の懲役若しくは五百万円以下の罰金に処し、又はこれを併科する。電気通信回線を通じて第二条第三項各号のいずれかに掲げる児童の姿態を視覚により認識することができる方法により描写した情報を記録した電磁的記録その他の記録を不特定又は多数の者に提供した者も、同様とする。
5 前項に掲げる行為の目的で、児童ポルノを製造し、所持し、運搬し、本邦に輸入し、又は本邦から輸出した者も、同項と同様とする。同項に掲げる行為の目的で、同項の電磁的記録を保管した者も、同様とする。
6 第四項に掲げる行為の目的で、児童ポルノを外国に輸入し、又は外国から輸出した日本国民も、同項と同様とする。
第８条（児童買春等目的人身売買等）
児童を児童買春における性交等の相手方とさせ又は第二条第三項各号のいずれかに掲げる児童の姿態を描写して児童ポルノを製造する目的で、当該児童を売買した者は、一年以上十年以下の懲役に処する。
2 前項の目的で、外国に居住する児童で略取され、誘拐され、又は売買されたものをその居住国外に移送した日本国民は、二年以上の有期懲役に処する。
3 前二項の罪の未遂は、罰する。
仮に、質問者の行為が、買春罪（４条）だけに該当するとすれば、法定刑の長期は５年。
この「５年ちょうど」というのは、「長期５年未満（250条5号）」ではなくて、（５年以上）「１０年未満（4号）」ですから、公訴時効は５年です。
刑事訴訟法
第250条〔公訴時効の期間〕
時効は、左の期間を経過することによつて完成する。
一 死刑にあたる罪については十五年
二 無期の懲役又は禁錮にあたる罪については十年
三 長期十年以上の懲役又は禁錮にあたる罪については七年
四 長期十年未満の懲役又は禁錮にあたる罪については五年
五 長期五年未満の懲役若しくは禁錮又は罰金にあたる罪については三年
六 拘留又は科料にあたる罪については一年
まあ、こうやって読んでください。
児童買春罪はカテゴリーとしては「長期十年未満の懲役又は禁錮にあたる罪」になります。重いですね。
しかし、ほんとに「児童買春罪」なんですか？
追記
毎度の事ながら、刑訴法の法文が古いとの指摘があって、訂正しました。
