国選弁護人が被告人や関係者に費用を請求することは絶対にないので、裁判所からの訴訟費用の請求の話だと思います。
国選弁護人の費用は、「訴訟費用」として（執行猶予の場合）被告人に負担させることが多いです。
免除の手続きもあります。
正確にいえば国選弁護人は無料ということではなく、後払いというべきです。
金額としては、１回で結審するような事件であれば、10万円以内だと思います。
お金払うんだったら、もっとちゃんとやって欲しかったというのは、終わってからこちらに言われてもどうしようもありません。
刑訴法
第181条〔被告人の負担〕
１ 刑の言渡をしたときは、被告人に訴訟費用の全部又は一部を負担させなければならない。但し、被告人が貧困のため訴訟費用を納付することのできないことが明らかであるときは、この限りでない。第500条〔訴訟費用執行免除の申立て〕
１ 訴訟費用の負担を命ぜられた者は、貧困のためこれを完納することができないときは、裁判所の規則の定めるところにより、訴訟費用の全部又は一部について、その裁判の執行の免除の申立をすることができる。
２ 前項の申立は、訴訟費用の負担を命ずる裁判が確定した後二十日以内にこれをしなければならない。
刑事訴訟費用等に関する法律
第２条（訴訟費用の範囲）
刑事の手続における訴訟費用は、次に掲げるものとする。
一 公判期日若しくは公判準備につき出頭させ、又は公判期日若しくは公判準備において取り調べた証人等に支給すべき旅費、日当及び宿泊料
二 公判期日又は公判準備において鑑定、通訳又は翻訳をさせた鑑定人、通訳人又は翻訳人に支給すべき鑑定料、通訳料又は翻訳料及び支払い、又は償還すべき費用
三 刑事訴訟法（昭和二十三年法律第百三十一号）第三十八条第二項の規定により弁護人に支給すべき旅費、日当、宿泊料及び報酬
